correction des systèmes à commande numérique

Introduction

On a envisagé au chapitre 6 une technique de correction basée sur l’action proportionnelle qui vise à imposer aux système des performances dynamiques. On dispose d’un seul degré de liberté ( action sur K ) ce qui limite les performances du système à commander. On propose dans ce chapitre une approche polynomiale dans laquelle le système commandé doit suivre un modèle de référence défini par une fonction de transfert H_m(z). Les performances statiques et dynamiques souhaitées sont obtenues par le dimensionnement ad hoc

Méthode de placement de pôles

Cette méthode permet, grâce à des abaques, d'obtenir assez rapidement des résultats satisfaisants à partir des spécifications temporelles liées à la réponse indicielle du système corrigé.

Objectif :

Il s'agit d'obtenir un système par C(z) dont la FTBF corrigée possède les caractéristiques suivantes :

un coefficient d'amortissement x pour le mode dominant
une erreur maximale en régime permanent (pour la réponse indicielle)
un dépassement D₁ et un temps de pic t_P

On notera :

La FTBF vaut donc :

D'où

En se fixant a priori la dynamique du système corrigé, qui nous donnera les coefficients de H(z), on peut donc en déduire le correcteur C(z).

En notant et , on trouve :

En pratique, il faudra d'assurer que ce correcteur est stable et bien sûr réalisable, ce qui va imposer des conditions sur le degré de son numérateur et de son dénominateur.

Stabilité :

les racines de sont à l'intérieur du cercle unité
les racines de B extérieures au cercle unité sont aussi racines de

Réalisabilité :

deg deg

Bien souvent, on imposera que le système corrigé se comporte comme un second ordre dominant s'écrivant :

Y(z) est un polynôme dont les racines sont très proches de zéro, et qui ne sert qu'à assurer la réalisabilité de C(z), en permettant la vérification des relations écrites ci-dessus.

Dans la suite, on supposera que ces relations sont vérifiées et on prendra Y(z)=1.

Si on décide d'avoir une erreur nulle en régime permanent (réponse indicielle), cela implique :

Démarche à suivre :

Calculer G(z)
Définir H(z) d'après le cahier des charges (D₁, x, t_P)

assurer la réalisabilité de C(z)
fixer z₀ si G(z) possède un zéro instable
A l'aide de la figure

, déterminer les valeurs possibles de g pour D₁ et x imposés

Reporter cet intervalle sur la figure et en déduire l'intervalle correspondant à . En pratique, on prendra des valeurs faibles pour

Sur la figure , déterminer la position de p₀ à l'intersection de la radiale

et de l'iso-x désiré

construire l'angle g suivant la méthode indiquée sur la figure 1, puis :

Si z₀ est libre, en déduire la position de z₀
Si z₀ est imposé, vérifier que g appartient à l'intervalle défini précédemment.

Calculer C(z)

Figure 1

Figure 2

Régulateur RST

Structure du régulateur RST

Figure 3

Hypothèses :

Système propre i.e. degré(A(z)) > degré(B(z)),
A(z) monique i.e. dont le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1
A(z) et B(z) sont premiers entre eux i.e. qui ne possèdent aucun facteur commun

Le polynôme R(z) est monique de degré r,

Le polynôme S(z) de degré s,

Le polynôme T(z) est monique de degré t,

La fonction de transfert en boucle fermée :

La loi de commande à implanter sur le calculateur résulte de :

On applique le théorème de l'avance pour exprimer u(k+r) :

La sortie ne peut anticiper l'entrée, par conséquent :

r ³ s et r ³ t

Synthèse du régulateur RST

On a établi :

Les polynômes R(z), S(z) et T(z) vont être choisis afin que la fonction de transfert en boucle fermée soit identique à une fonction de transfert H_m(z) encore appelé modèle à poursuivre.

Système propre i.e. degré(A_m(z)) > degré(B_m(z)). De plus les pôles de H_m(z) sont tous stables donc à l'intérieur du cercle unité. Ces pôles sont placés afin de maîtriser le régime transitoire en boucle fermée ; de plus le degré de A_m(z) n'est pas nécessairement égal à celui de A(z).R(z) + B(z).S(z). A_m(z) étant généralement un modèle à poursuivre très simple, son degré est la plupart du temps nettement inférieur à celui de A(z).R(z) + B(z).S(z). Avec un régulateur RST on dispose donc de deux degrés de liberté pour le réglage de la dynamique ( R(z) et S(z) ).

Réglage de la précision

L'annulation de l'erreur permanente est conditionnée par le nombre d'intégrations dans la chaîne directe. Pour une entrée type complexe de la forme , il convient d'insérer l intégrations dans la chaîne directe ; on écrit :

Simplification de zéros

La fonction de transfert en boucle fermée du processus corrigé est généralement d'ordre supérieur au modèle à poursuivre . Il existe donc des simplifications qui seront obtenues à l'aide des polynômes R(z), S(z) et T(z).

Le processus à commander H(z) possède b zéros qui sont les racines de B(z). Ces zéros conditionnent le régime transitoire. On distingue :

Les zéros compensables, z⁺ racines du polynôme B⁺(z) choisi monique. Les zéros compensables appartiennent à la zone hachurée de la figure 2, ils garantissent un amortissement sûr et rapide des modes. Cette zone doit être choisie en fonction du cahier des charges. Elle sera définie par et , les valeurs de r et x₀ dépendant du type de zéros qu'on voudra compenser.
Les zéros non compensables, z^- racines du polynôme B^-(z), Les zéros non compensables sont exclus du contour hachuré.

Figure 4

Comme B⁺(z) est compensable, R(z) contient B⁺(z) Þ et R'(z) est monique car B⁺(z) et R(z) le sont.

Comme B^-(z) n'est pas compensable, B_m(z) contient B^-(z) Þ

Pour le choix de T, on peut écrire :

Þ A(z).(z-1)^l.R'(z) + B^-(z).S(z) = A_m(z).A₀(z) à un facteur A₀(z) près compte tenu de la remarque du début de paragraphe portant sur les degrés du processus bouclé corrigé et du modèle à poursuivre.

Þ égalité vérifiée au même polynôme A₀(z) près.

On démontre en annexe que :

Synthèse

Données

A(z) et B(z) premiers entre eux

Spécifications

Le cahier des charges permet d'exprimer A_m(z) et éventuellement B_m(z)

Etape 1

qui donne dB_m

Etape 2

Effectuer la factorisation B(z) = B⁺(z). B^-(z), les zéros de B⁺(z) appartenant à la zone tramée de la figure 4

Etape 3

Etape 4

Déterminer l le nombre d'intégrations à rajouter dans la boucle ouverte

Etape 5

Etape 6

Résoudre A(z).(z-1)^l .R’(z) + B^-(z).S^-(z) = A₀(z)Am(z)

Etape 7

Calculer R(z) = B⁺(z). (z-1)^l .R’(z) et T(z) = B’_m(z).A₀(z)

Exemple

On veut corriger un processus du second ordre trop faiblement amorti (x = 0,2) et de pulsation propre w_n = 0,7 rad/s. Son gain statique est égal à 1.

On désire avoir un système mieux amorti (x = 0,8) avec une erreur statique nulle. On désire aussi compenser seulement les zéros se trouvant dans la zone définie par x < 0,3.

On peut espérer doubler la pulsation propre : w'_n = 1,4 rad/s. On prendra un temps d'échantillonnage