1. Conditions générales de stabilité

Comme pour les systèmes linéaires continus, on définit la stabilité d'un système linéaire échantillonné par sa capacité à revenir à son état initial après avoir été excité par une perturbation.

Prenons un système défini par la séquence de réponse impulsionnelle {h_n}, il est stable si h_{n ®} 0 lorsque n® +∞.

Si la transmittance d'un système échantillonné (qui est aussi la transformée en z de sa réponse impulsionnelle) peut s'écrire sous la forme :

avec deg(N(z)) = n £ d

on peut la décomposer en éléments simples :

Pour que la réponse impulsionnelle tende vers 0 quand n® +∞, il faut que chacun des termes qui la composent tende aussi vers 0.

La transformée inverse de H(z) nous donne alors :

Ce terme ne tend vers zéro que si a un module inférieur à 1.

La condition de stabilité pour un système linéaire échantillonné est que toutes les racines de l'équation caractéristique (pôles de transmittance) soient situées à l'intérieur du cercle unité du plan des z.

 



On avait posé dans le chapitre 2 : .

En écrivant p = s +jw , la condition de stabilité s'écrit ce qui équivaut à s < 0.

On retrouve le résultat obtenu pour les systèmes continus.

2. Critères algébriques de stabilité

Soit D(z) le dénominateur de la transmittance H(z) d'un processus.

L'équation avec permet de déterminer les pôles de H(z).

Dans le cas où n > 2, il est généralement difficile de calculer ces pôles "à la main". C'est pourquoi on utilise une méthode fondée sur la construction du tableau ci-dessous :

N° de ligne

Pour que toutes les racines de D(z) soient dans le cercle unité, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :

• D(1) > 0 " n
• D(-1) > 0 si n pair
  D(-1) < 0 si n impair
• 
  
  
  
  

Exemple :

Construisons le tableau :

N° de ligne

Les conditions de stabilité sont alors :

• D(1) > 0 Û a₃+a₂+a₁+a₀ = 0
• D(-1) < 0 Û -a₃+a₂-a₁+a₀ = 0
• 
  

1. Critère de Routh modifié

On peut se ramener au critère de Routh étudié lors du cours d'asservissements linéaires continus en effectuant le changement de variables suivant :

où w est un nombre complexe qu'on peut écrire .

De là,

On en déduit :

Autrement dit, si l'on transforme D(z) en D(w) en posant , le système est stable si les racines de D(w) = 0 sont à partie réelle strictement négative. On peut donc appliquer le critère de Routh sur les coefficients de D(w).

1. Critère graphique : lieu d'Evans
1. Principe

Le principe du lieu d'Evans est identique à ce qui a été dit pour les systèmes continus. Il s'agit de représenter l'ensemble des pôles de la FTBF d'un système linéaire échantillonné en fonction d'un paramètre k placé dans la chaîne directe, comme indiqué sur le schéma ci-dessous:





Les pôles de la FTBF sont les racines de l'équation 1+kG(z) = 0

Le système sera stable si ces pôles sont situés à l'intérieur du cercle unité dans le plan des z.

2. Règles de construction

Les règles de construction du lieu d'Evans sont similaires à celles énoncées lors du cours d'asservissements linéaires continus.

Si k > 0 : Si k < 0 :

• Points de départ : les n pôles de G(z)
• Points d'arrivée : les m zéros de G(z) et les n-m directions asymptotiques
• Asymptotes : elles font un angle avec l'axe réel

si k > 0

• Parties du lieu sur l'axe réel :

• Points de branchement : ce sont les points où les branches du lieu se détachent de l'axe réel.

• Points d'intersection avec l'axe imaginaire : on pose z = jw

1. Exemple

• Normalisation du gain : k = 0,37K
• Points de départ : p₁ = 1 p₂ = 0,37
• Points d'arrivée : z₁ = -0,7
• Asymptote :
• Parties de l'axe réel :
• Points de branchement :

• Equation du lieu :

• Intersection du lieu avec le cercle unité :

Remarque : Comme dans le cas continu il est possible d’imposer au système un comportement de type second ordre en s’imposant le facteur d’amortissement réduit x et la pulsation propre non amortie w_n. On trace dans le plan complexe les isox et les isow_n .

w_n.Te varie, x constant pour le tracé des isox ,

x varie, w_n.Te constant pour le tracé des isow_n.Te