k gain statique, t constante de temps.On a établi dans le cours consacré aux asservissements linéaires continus ( chapitre 3) la fonction de transfert d’un système du premier ordre :
k gain statique, t constante de temps.
Si l’on envisage une commande numérique pour ce système muni de son bloqueur d’ordre zéro, la fonction de transfert échantillonnée s’écrit :
On applique le théorème des résidus pour déterminer 
avec 
L’entrée est un échelon d’amplitude E0.G(k) ,
d’après les tables de transformées en multipliant les deux membres de l’égalité par z et en appliquant le théorème de l’avance :
pour k ³ -1
pour k ³ 0
Selon que 1 > z0 ³ 0 ou 0 ³ z0 > 1, on obtient les réponses suivantes.
L’entrée est un signal harmonique de pulsation harmonique w : 
,
d’après les tables de transformées :
La réponse est la somme d’un régime transitoire 
du premier ordre qui tend vers 0 lorsque |z0|<1et d’un régime permanent harmonique 
. Pour l’étude harmonique on ne considère que le régime permanent.
module : 
argument : 
Les systèmes caractérisés par z0 > 0 ont un comportement de type filtre passe-bas tandis que pour z0 < 0 il est de type passe-haut.
On a établi dans le cours consacré aux asservissements linéaires continus ( chapitre 3) la fonction de transfert d’un système du second ordre :
k : gain statique ; wn : pulsation propre non amortie ; x : facteur d’amortissement réduit.
On ne considère ici que le cas 0 £ x < 1 pour lequel le système admet deux pôles complexes conjugués. Lorsque x > 1 le système possède deux pôles réels distincts ; après décomposition en éléments simples l’étude se ramène à celle de deux systèmes du premier ordre.
Ce système du second ordre muni de son bloqueur d’ordre zéro admet pour fonction de transfert échantillonnée :
Pour la détermination de a0, a1, b1, b0 on exploite très avantageusement les abaques suivantes.
Soit le système du second ordre décrit par : 
. On échantillonne ce système muni d’un bloqueur d’ordre zéro à la cadence de 1 seconde. D’après les abaques :
a0 = 0,4 , a1 = -1 , b0 = 0,16 et b1 = 0,22. On vérifie que le gain statique du système échantillonné est unitaire :
aux erreurs de lecture près.
Le système du second ordre échantillonné est décrit par :
On le soumet à un échelon d’Heaviside d’amplitude e0: 
qui après division par z puis décomposition en éléments simples s’écrit :
Dans le domaine temporel, d’après les tables de transformées :
On utilise la carte des pôles et des zéros afin d’obtenir une expression plus conviviale de la réponse indicielle.
On note :
, 
, 
, 
L’expression de s(k) peut aussi s’écrire :
d’après la figure précédente : 
Les figures qui suivent permettent de déduire l’allure de la réponse
Pour les deux système définis par leur fonction de transfert :
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g = D1% = tp = |
g = D1% = tp = |
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Les figures précédentes illustrent l’influence de la position des zéros sur la réponse indicielle. Les abaques suivantes permettent d’établir les caractéristiques de la réponse indicielle : dépassement et temps de premier pic.
Un système d’ordre quelconque peut, après décomposition en éléments simples s’écrire comme la superposition de sous-systèmes du premier et du second ordre.
L’expression de la réponse indicielle :
Le régime transitoire est défini par 
pour les sous-systèmes du premier ordre et 
pour les sous-systèmes du second ordre. Il est d’autant plus long que le module des pôles est grand. Il est d’autant plus bref que ce module tend vers zéro.
Remarque : L’expression de la réponse indicielle montre que le système est stable si la réponse ne diverge pas ; ce qui est le cas lorsque les modules des pôles module des pôles est inférieur à l’unité.
On appelle mode dominant le mode associé au pôle dont le module est le plus grand i.e. celui qui impose le régime transitoire le plus long.
