Dans le cas des systèmes asservis à commande numérique les signaux discrets sont des suites de nombres élaborés par le calculateur ou par le convertisseur analogique-numérique à des intervalles de temps réguliers Te. Un signal discret n'est pas de même nature qu’un signal échantillonné.
Echelon
Impulsion
Rampe
Exponentielle
Signal harmonique
C'est un outil équivalent à la transformée de Laplace pour les signaux discrets et échantillonnés.
X(z) existe si la série converge,
converge si et seulement si 
L'échantillonnage est supposé parfait ; on a établi au premier chapitre l'expression temporelle du signal échantillonné dont on cherche la transformée de Laplace.
On pose 
Linéarité 
Avance
on cherche 
on pose n = k + k0
Retard de la même manière on montre que 
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
Ces tables figurent en annexe.
après échantillonnage 
D'après les tables 
On reprend l'exemple précédent, par définition : 
On montre que 
le calcul de l'intégrale peut s'effectuer par la méthode des résidus en fermant le contour d'intégration par un demi cercle de rayon infini.
où X(m) est la transformée de Laplace de x(t)
D'après le théorème des résidus : 
On reprend l'exemple précédent, la transformée de Laplace de la rampe 
qui possède un pôle double en 0. On cherche les résidus de : 
dans le cas étudié m = 2
La fonction de transfert est de la forme :
La méthode consiste donc à chercher une décomposition en éléments simples de 
.
Elle fournit la suite des échantillons f(n)
En appliquant le théorème du retard : f(0) = 0, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) =3,5 …
La transformée inverse se définit par :
le contour C entoure l'origine dans le sens direct. D'après le théorème des résidus :
et 
or 
Elles sont de la forme :
On les résout en utilisant la transformée en z et le théorème de l'avance ou du retard.
Soit l'équation de récurrence, pour k ³ 0 :
La transformée en z,
D'après les tables :
La transformée en Z modifiée a pour but de fournir des informations sur le comportement du système entre les instants d'échantillonnage.
On introduit un retard fictif l.Te, l Î [0,1] à la sortie du processus continu.
On note S(z,m) la transformée en z modifiée de S. Compte tenu de l'introduction du retard fictif on a :
Comme s(t) est nul pour t < 0,
en posant k-1 ® k, on a :
On a montré que la transformée de Laplace d'un signal échantillonné était la transformée en Z de ce signal , on peut écrire :
On peut donc exploiter pour la transformée en Z modifiée toutes les propriétés définies pour la transformée en Z. On a notamment établi que :
Résultat qui dans le cas de la transformée en z modifiée s'écrit :
On remarque que m n'intervient qu'au numérateur.
Soit la réponse d'un système décrite par :
aux instants d'échantillonnage retardés fictivement de l.Te
dont la transformée en Z a pour expression :
d'après les tables de transformées :
On constate l'existence d'un zéro au numérateur lié au retard m.