2-1 Présentation :
La dynamique (ou l'équation caractéristique) d'un système donné sous forme de représentation d'état peut être modifiée pour en améliorer les performances ou pour réaliser un asservissement par la technique du retour d'état. La forme de représentation d'état la mieux adaptée à ce type de correction est la forme compagne horizontale.
Dans ce chapitre, comme nous allons travailler dans plusieurs bases pour étudier le même système, on adoptera les notations suivantes:
- Pas d'indice sur les matrice de la représentation ð Base avion
- Indice " ~ " sur les matrices de la représentation ð Base compagne horizontale
De plus, pour distinguer la représentation du système libre et celle du système corrigé, on indicera " ' " les matrices relatives au système corrigé (boucle fermée).
On rappelle enfin que quelle que soit la base dans laquelle est effectuée la représentation d'état d'un système (c'est à dire quels que soient les états choisis pour décrire un même système) son équation caractéristique est invariante.
Considérons un système d'ordre n dont la représentation d'état est:
Si l'on modifie la commande u de ce système pour l'écrire en fonction des états du système (on suppose donc en avoir la mesure) et d'une consigne d'entrée notée e on peut écrire:
L'indice m rappelant qu'il s'agit de la mesure du paramètre. Les problèmes liés à la mesure sortant du cadre de ce cours, on considère que l'on dispose de ces informations de façon parfaite. L'indice m sera donc, dans la suite, omis pour soulager les écritures.
La correction par retour d'état définit la fonction f comme le produit de chacun des états par un coefficient (ou gain). on peut donc noter dans ce cas:
Soit, en adoptant la notation matricielle:
avec 
On a alors la commande u = e + KX
en reportant dans l'équation d'état il vient:
La nouvelle entrée du système étant e, on se retrouve donc avec une équation "canonique" de représentation d'état. Le synoptique de ce système est le suivant:
L'équation caractéristique du système corrigé s'écrit alors:
Elle est différente de l'équation caractéristique du
système libre dès lors que 
, c'est à dire 
La dynamique du système (le comportement du
système), est donc différent selon qu'il est ou non équipé
d'un correcteur.
La remarque en a déjà été faite dans ce polycopié: c'est en agissant sur la commande du système (ici par un retour d'état) que l'on modifie sa dynamique.