INTRODUCTION

 Position du problème

Lors des chapitres précédents, les systèmes étudiés admettaient des signaux déterministes i.e. les mêmes causes engendrent les mêmes effets.

- états déterministes

- mesures des états déterministes

A la notion de signaux déterministes, on oppose la notion de signaux aléatoires pour lesquels le hasard intervient. Dans la pratique, les signaux sont bruités et confèrent au système un comportement aléatoire.

- des bruits se superposent aux états, on les appelle bruits d’état.

- les capteurs, leur chaîne d’acquisition et de traitement bruitent les mesures, on parle de bruits de mesure.

Exemple

Le moteur à courant continu de l’asservissement de position étudié en première année peut être caractérisé par le vecteur d’état :

et le vecteur de mesure :

La résistance de l’induit parcourue par le courant d’induit i est à l’origine d’un bruit thermique qui se traduit par un courant de bruit lequel s’ajoute au courant délivré par le générateur.

L’usure des liaisons mécaniques, les frottements secs sont à l’origine de vibrations qui bruitent les états vitesse et position.

Le potentiomètre de recopie est également sujet au bruit thermique.

La chaîne de traitement ( amplificateurs, filtres, etc. ) est alimentée via des régulateurs par le réseau. Les variations de ce dernier affectent les mesures. Les éléments constitutifs de cette chaîne sont réalisés par des semi-conducteurs, ces derniers génèrent du bruit de grenaille.

Les objectifs

Lors du chapitre consacré aux observateurs déterministes nous avons montré qu’il était possible de reconstruire les états non mesurés et non mesurables d’après l’observation des sorties et des commandes (sous réserve que le système soit observable). Le problème posé dans ce cours est identique, avec toutefois une difficulté supplémentaire, les états et les mesures sont bruités. Il s’agit donc de reconstruire au mieux ces états. On élabore un observateur stochastique ( du grec stokhastikos ‘ conjectural’ ).

Stratégie

Le tableau suivant récapitule les stratégies élaborées en matière de commande et d’observation pour un système décrit par sa représentation d’état.

 Exemple de critère statistique

Chercher une régression qui minimise la somme quadratique des erreurs.

Rappels sur les probabilités

Les signaux sont aléatoires, par conséquent on n’en a qu’une connaissance probabiliste.

Vecteurs aléatoires

On considère un vecteur aléatoire x=[x₁, x₂...x_n]^T où chaque composante est une variable aléatoire (v.a) pouvant prendre un ensemble continu de valeurs. Dans ce cours, x désigne indifféremment le vecteur d’état, de mesure, bruits d’état et bruits de mesure.

La densité de probabilité

p(x₁,x₂...x_n) qui vérifie : Prob(x'< x < x’ +dx) = p(x).dx₁.dx₂...dx_n

l’événement certain.

Illustration dans le cas d'un vecteur à 2 composantes dont les densités de probabilités sont gaussiennes.

La valeur moyenne ou espérance mathématique

Le vecteur est dit centré lorsque E[ X ] = 0

La matrice de variance

S_xx = Var[X] =

S_xx =

S_xx=

� La matrice de variance est symétrique définie positive.

‚ Les termes diagonaux sont les variances des v.a : s_ii² = et mesurent la dispersion des valeurs prises par x autour de la valeur moyenne.

ƒ La trace de la matrice de variance représente la somme des variances

„ Lorsque les composantes non diagonales , les états x_i, x_j avec i ¹ j sont non corrélés, i.e. la connaissance de x_i n’apporte aucune information sur celle de x_j . D’un point de vue géométrique, cela revient à établir que les composantes sont orthogonales, est en fait un produit scalaire.

… Lorsque la matrice est diagonale, tous les états sont décorrélés.

La matrice de covariance

La covariance peut porter sur deux vecteurs différents X et Y ou sur un même vecteur considéré à des instants différents [ X(t), X(t + t )].

SIGNAUX ET SYSTEMES

On modélise les bruits d’état et de mesure par des bruits blancs.

 Définition et propriétés

Dans ce cours, on suppose les états et les mesures bruités par des bruits blancs. Le bruit blanc b(t) est défini comme un processus stochastique dont la densité spectrale de puissance reste constante sur une large bande. Par analogie avec la lumière blanche qui est composée de radiations de toutes les longueurs d'ondes.

Sbb(f) représente la distribution fréquentielle de la puissance totale du signal. Lorsque f₀ ® ¥ La densité spectrale de puissance ® ¥ . La densité spectrale de puissance est par définition la transformée de Fourier de la fonction d’intercorrélation qui est assimilable à la covariance Cbb(t). ( sous réserve que le signal soit à valeur moyenne nulle et en faisant l’hypothèse d’ergodicité ).

Cov[ b(t), b(t + t ) ] = Cbb(t) = F^-1{Sbb(f)} =

Cbb(t) montre comment la valeur prise par b(t) influence la valeur prise par b(t + t ). En t = 0, la ressemblance de b(t) et b(t + t ) est totale et la fonction Cbb(t) est maximale. Lorsque Cbb(t) s’annule, la valeur prise par b(t) n’influence pas b( t+ t ). Les bruits sont décorrélés.

Dans le cas d’un bruit blanc idéal, f₀ ® ¥ , Cbb(t) tend vers une impulsion de Dirac : Cbb(t) calculée au sens des distributions vaut k².d(t- t ). La variance ® ¥ et les bruits observés à deux instants différents sont décorrélés.

 Cas vectoriel

On considère le cas d’un vecteur de bruits blancs ( cas des n bruits blancs associés à chaque état ou à chacune des mesures ) :

• Les bruits sont centrés
• Les bruits sont blancs Þ décorrélés lorsque t ¹ s

S_bb= = B(t).d(t-s)

• à deux instants différents t ¹ s, les bruits sont décorrélés et la matrice est identiquement nulle.
• au même instant, t = s , si les bruits sont décorrélés entre eux ( aucune ressemblance), la matrice est diagonale.
• au même instant, t= s, si des termes non diagonaux sont non nuls, cela peut par exemple signifier qu’ils sont issus d’une même source de bruit.

Le système

Dans la suite de ce cours on note :

la moyenne de X

la covariance de l’état

W(t) le bruit d’état, blanc et centré, stationnaire

la covariance du bruit d’état

V(t) le bruit de mesure, blanc et centré, stationnaire

la covariance du bruit de mesure

les bruits d’état et de mesure sont non-corrélés

les bruits de mesure et les états sont non-corrélés

l’état initial et les bruits d’état sont non-corrélés

Le système est décrit par sa représentation d’état. Les état et les mesures sont bruitées par des bruits blancs. On ne s’interesse pas à la commande qui est déterministe. On se propose pour un tel système de décrire les lois d’évolution des deux premiers moments statistiques, l’espérance et la variance.

Un tel système, excité par des bruits d’état et de mesure est appelé processus stochastique. Il est composé :

 Un processus stochastique de mesure

Y = C.X + V

Evolution de l’espérance :

Evolution de la covariance :

 Un processus Markovien

Un processus stochastique Markovien peut être décrit comme l’état d’un système excité par un bruit blanc. Il est équivalent de montrer qu’un processus Markovien est d’un point de vue stochastique un processus à mémoire minimale i.e.

Pour un processus gaussien dont la densité de probabilité est complètement caractérisée par sa moyenne et sa variance,  cela revient à écrire que l’évolution future (t > u) de ces moments statistiques est conditionnée par E[x(u)] et Var(x(u)). Le passé i.e. la connaisance de E[x(t1)], Var(x(t1)) n’enrichit pas la connaissance des phénomènes étudiés.

Avant d’établir les propriétés d’un tel processus, on rappelle les résultats relatifs à la résolution de l’équation d’état,

y est la matrice de transition dont les propriétés sont rappelées en annexe (3), (4), (5).

" q < t₀, X(q) n’apporte aucune information quant à l’évolution de la trajectoire d’état. Toute l’information est contenue dans X(t0). C’est un cas de figure analogue à celui des processus Markoviens.

D’après la figure précédente, on a :

Evolution de l’espérance :

Evolution de la variance :

En dérivant S(t) par rapport au temps et en tenant compte des propriétés de la matrice de transition, il vient :

Ces deux résultats sont par la suite d’un intérêt capital. Leur démonstration est donnée en annexe.

Remarque : Lorsque le bruit d'état agit à travers une matrice B, on a :

FILTRE DE KALMAN BUCY

On veut réaliser un observateur linéaire qui reconstruise au mieux les états du système. On rappelle que ces derniers ainsi que les mesures sont bruités. Pour reconstruire le vecteur d’état on dispose de l’ensemble des mesures Y jusqu’à l’instant t. Un bon estimateur doit annuler l’erreur d’estimation. Dans le cas d’un observateur stochastique, on raisonne sur des considérations probabilistes, il faut que l'erreur d’estimation en moyenne soit nulle et que la dispersion de l’erreur autour de zéro soit la plus petite possible.

Hypothèses de travail

� la structure de l’observateur stochastique est identique à celle d’un observateur déterministe

‚ L’observateur est non biaisé ce qui signifie qu'en moyenne l’erreur est nulle .

En effet :

qui admet la solution :

Le second membre est de moyenne nulle puisque les bruits sont par hypothèse centrés ; le premier terme est nul si les conditions initiales sont parfaitement déterminées, alors e(t0)=0.

La méconnaissance des conditions initiales, une mauvaise modélisation du système sont à l'origine d'un biais sur l'estimation. On peut également citer l'existence d'une erreur systématique sur un capteur ( exemple tension d’offset qui s’ajoute à la mesure ).

ƒ Le qualifiquatif au mieux suppose au sens d’un critère . Le critère retenu est la minimisation de la variance de l’erreur d’estimation. Soit L la variance de l’erreur d’estimation,

Détermination du gain de Kalman

Le problème consiste à déterminer la matrice L qui minimise la variance de l’erreur d’estimation. Pour cette démonstration on exploite largement les résultats sur les processus markoviens démontrés en annexe.

C’est l’équation d’un processus Markovien, on a :

• d’espérance nulle ( estimateur sans biais )
• de variance L(t) telle que :

Pour déterminer la valeur de L* de L qui minimise L, ( soit L*cette valeur ), on pose :

L = L* + dL et L = L* + dL

dans l’équation de la variance de l’erreur d’estimation.

dont la solution est d’après les résultats précédents:

Pour obtenir cela, il faut :

- initialiser le filtre de façon optimale, i.e. avec L(t0) minimale, alors dL(t0) > 0

- choisir :

ainsi, le terme qui apparaît sous l’intégrale est nul. quelque soit dL.

En reportant :

dans l’équation de dL / dt, il vient :

C'est une équation de Riccati

à intégrer avec la condition initiale L(t0).

Remarque 1 : est appelé gain de Kalman. L’évolution des états estimés est régie par l’équation :

Remarque 2 : La condition initiale L(t0) dépend de la connaissance que l’on a a priori de l’état du système. On peut néanmoins d’après la connaissance initiale que l’on a du système chercher l’état initial estiméqui minimise L. On rappelle que l'estimateur est sans biais donc :

Et,

S₀ est la variance de l’état initial, matrice strictement positive, le second terme est une matrice de variance, également positive qu’on peut au mieux annuler. L₀ est minimale et égale à S₀ pour

Remarque 3 : Le filtre de Kalman ne fonctionne que s’il y a du bruit de mesure. Autrement dit, R doit être définie positive ( elle admet alors une inverse ).

Remarque 4 : Il peut arriver que L(t) diverge, auquel cas, il faut réinitialiser le filtre.

Remarque 5 : On pourrait établir la dualité entre le problème de l’observateur optimal et le problème de la commande optimale.

Exemple 

Soit un module "retour sur terre" dont on cherche à estimer la vitesse lors de sa traversée de l'atmosphère.

Equations du système :

Seule la mesure de la vitesse est bruitée. Le bruit b(t) est blanc, gaussien, centré et de variance égale à r²,

On note S la variance de l'état vitesse,

L la variance de l'erreur d'estimation.

L'état initial est connu avec une espérance égale à 15 m/s et une variance S₀ ,

Pour simplifier, le véhicule est de masse unitaire.

On cherche le filtre de Kalman qui minimise l’erreur d’estimation de la vitesse.

Identification : A = -f, C = 1, R = 1, Q = 0

Remarquons que la variance de l'erreur d'estimation à l'instant initial L₀ est inconnue , elle est au moins égale à S₀ d'après la remarque 2.

Equation de la variance de l’erreur d’estimation :

Equation du gain de Kalman :

Tous calculs faits :

Remarquons que lorsque t ® + ¥ le gain de Kalman devient stationnaire L = 2.f.

Equation d'évolution de l'estimation :

Plusieurs cas sont étudiés.

L'état initial est connu par sa moyenne égale à 18 m/s et sa variance égale à 1. Ces valeurs sont obtenues par l'expérience qu'on a des phénomènes étudiés, par les modèles qu'on a établis etc. D'après la remarque 2, on fixe l'état initial estimé à 18 m/s.

L'état initial réel vaut en fait 20 m/s, l'estimation initiale doit cependant être correcte car l'état réel est cerné dans un intervalle de +/- 3s₀ autour de la moyenne ( s₀ désigne l'écart type, racine carré de la variance ).

Interprétation des résultats : Le filtre est correctement initialisé, rapidement, le gain de Kalman tend vers 0, il fait confiance à l'estimation ; puisqu'il n'y a pas de bruit d'état, il ne sert à rien de faire des mesures si ce n'est à ajouter des erreurs !

L'état initial est connu par sa moyenne égale à 18 m/s mais cette valeur est très incertaine aussi sa variance est choisie égale à 100. Lors de la simulation, on fixe la valeur de l'état initial estimé à 50 m/s ( On remarquera qu'on est à la limite supérieure de l'intervalle de confiance +/- 3 s₀ ).

L'état initial réel vaut en fait 20 m/s.

Interprétation des résultats : Le filtre est correctement initialisé, le gain de Kalman est important ( 100 ), il fait confiance à la mesure. Celle-ci permet dans un premier temps de cerner correctement la valeur de l'état ( L'état estimé tend rapidement vers l'état réel). Aussi, dans un second temps, le filtre ayant "rattrapé l'erreur", il est possible de faire confiance à l'estimation puisqu'il n'y a pas de bruit d'état ( gain de Kalman égal à 0 ).

Dans cette simulation, le filtre est mal initialisé, on suppose bien connaître l'état initial qu'on fixe à 50, bien connaître l'état initial cela suppose une faible variance, on choisit S₀ égale à 1. En fait l'état initial réel est égal à 20.

Interprétation des résultats : Le filtre lors de l'initialisation fait confiance à l'estimation ( variance initiale petite ), or celle-ci est complètement erronnée, ce qui explique le temps relativement long mis pour rattraper l'erreur ).