OBJECTIFS

Lors du chapitre précédent on a établi la méthode permettant d’élaborer une loi de commande optimale u* qui minimise le critère :

Inconvénients de la boucle ouverte 

Les systèmes ainsi commandés sont très sensibles aux perturbations et aux variations du modèle. La contre-réaction (i.e. bouclage des états sur les entrées ) améliore considérablement les performances du système vis à vis des perturbations. On cherche à réaliser la commande optimale u* à partie des entrées et des états du systèmes.

Hypothèses

- Le système est commandable.

On cherche à élaborer une loi de commande qui soit linéaire par rapport aux états , par conséquent,

- Le système est linéaire,

- Le critère est quadratique :

D’où l’appellation L(inéaire)Q(uadratique).

En effet, lorsqu’on écrit les équation de Hamilton pour élaborer la commande optimale, on résoud H_u=0. Le gradient est alors une forme linéaire en u.

• M et Q sont des matrices définies semi-positives, R est définie positive et admet donc une inverse, dans le cas général, elles dépendent du temps.
• L’état final x(t₁) est libre.

Dans ce cours, deux types de problèmes sont envisagés :

 Problème de régulation : On cherche à maintenir les états autour de 0. Le système peut être soumis à des perturbations qui affectent les états. L’objectif est d’élaborer la commande optimale u* qui minimise le critère J en présence de perturbations.

 Problème de poursuite : Les états doivent suivre une trajectoire de consigne Xc, il faut établir la loi de commande optimale qui minimise le critère.

PROBLEME DE REGULATION

• Le système est décrit par sa représentation d’état :

- Le critère quadratique :

C’est un problème classique de minimisation que l’on traite avec les équations de Hamilton. L’objectif est d’établir une relation de la forme :

� Hamiltonien

Pour applique le principe du minimum, on utilise les propriétés suivantes de la dérivation partielle vectorielle.

‚ Equations de Hamilton

ƒ On réinjecte la commande optimale dans l’équation d’état

„ On a alors un système d’équation différentielle sans second membre en X et en m

… On intègre ce système d’équations en tenant compte du coût terminal auquel il faut appliquer la condition de transversalité ( cf. chapitre V, § ) :

$ On rappelle que l’intégration de l’équation d’état fait intervenir la matrice de transition ( qui possède la propriété de transitivité ).

Compte tenu de la propriété de transitivité, on peut exprimer Z(t) depuis un nouvel état initial Z(t1). On a :

On exploite cette propriété pour intégrer X et m à partir des informations disponibles qui portent sur l’instant final. Ces équations s’intègrent à rebours.

La matrice de transition est de dimension ( 2n x 2n ).

Ce dernier résultat porté dans les équations d’états et de Hamilton :

P P est fonction du temps

Il reste à déterminer P(t), comme

avec la condition terminale :

Remarque : P(t) est symétrique, définie semi-positive et son inverse et solution de l’équation de Riccati.

On en déduit l’expression de la matrice de contre réaction K(t), comme :

Lors de la réalisation de la commande, il est nécessaire d’intégrer P à rebours avant d’implanter K(t). De plus, il convient de remarquer que la matrice de contre-réaction n’est pas stationnaire ( dépendance vis à vis du temps ). C’est une difficulté majeure dans la réalisation de la commande.

Exemple

On se propose dans cet exemple de mettre en œuvre une commande linéaire quadratique et de comparer les résultats obtenus ceux fournis par une commande optimale en boucle ouverte.

Le système étudié est un véhicule de masse m unitaire dont on veut maintenir la vitesse v(t) autour d’une vitesse de consigne vc constante. Ce système est décrit par l’équation d’état : avec la condition initiale v(0) = 0

- le critère à minimiser : réalise un compromis entre la minimisation de l’erreur le long de la trajectoire et l’énergie dépensée.

- le vecteur d’état choisi est l’erreur de vitesse, x = v - v_c qu’il faut maintenir autour de 0. C’est un problème de régulation.

• la représentation d’état :

où :

- La commande optimale a pour solution :

- La matrice de Riccati est solution de :

Résolution de l’équation de Riccati à rebours : t_r = t₁ – t :

- la condition terminale :

• comme p(t_r=0) = 0 Þ c = -1

Les chronogrammes suivants représentent successivement la commande optimale, l’état erreur de vitesse et la solution de l’équation de Riccati pour q = 5 puis q = 1. Dans le premier cas, on privilégie le rattrapage de l’erreur, objectif atteint au prix d’une forte sollicitation de la commande. Dans le second cas, on atteint le même résultat moins rapidement ; en revanche, l’énergie mise en jeu est moindre. On notera également que la solution de l’équation de Riccati pour t_r suffisament grand tend vers une valeur stationnaire qui est la solution positive du second membre de l’équation de Riccati. En annexe, on trouvera les résultats relatifs au même système dont la loi de commande en boucle ouverte a été établie avec les équations de Hamilton.

 SYSTEME ET CRITERE STATIONNAIRE A HORIZON INFINI

Pratiquement, la difficulté de la réalisation réside dans l’intégration à rebours de l’équation de Riccati et dans l’implantation de la commande K(t)= R^-1.B^T.P(t) qui doit être menée avant que le processus démarre. De plus, la commande dépend du temps. L’exemple montre que la loi d’évolution de K(t) est stationnaire sur une plage importante et qu’elle tend vers la solution positive du second membre de l’équation de Riccati. On s’affranchit des conditions terminales en élaborant une commande sur horizon infini. Ce résultat est significatif si l’horizon d’étude est grand devant les constantes de temps du système.

La commande optimale qui minimise le critère

fait appel à une matrice de contre réaction indépendante du temps.

U*(t) = -X(t) =R^-1.B. la matrice définie semi-positive est solution de l'équation :

La commande est beaucoup plus facile à réaliser que dans le cas à horizon fini, en effet, elle ne dépend plus du temps.

Exemple

Les chronogrammes suivants mettent en évidence l’effet d’une commande LQ sur horizon infini pour le système étudié lors de l'exemple précédent. Les réponses obtenues sont quasi-identiques pour une commande beaucoup plus simple à réaliser.

PROBLEME DE LA POURSUITE

Les états sont astreints à suivre une trajectoire de consigne. Le critère a pour expression :

où Xc désigne la trajectoire de consigne.

On raisonne comme dans le cas de la régulation,

� Hamiltonien

‚ Equations de Hamilton

ƒ On réinjecte la commande optimale dans l’équation d’état

On a alors un système d’équations différentielles non homogènes en X et en m traduites sous forme de schéma figure 6.

On exploite la condition de transversalité portant sur le coût final,

Les équations sont à intégrer à rebours comme dans le cas de la régulation. On cherche une solution de la forme :

On aboutit à ce résultat en utilisant la matrice de transition, attention, l’équation comporte un second membre.

„ On porte l’expression de m(t) dans les équations d’état et les équations des multiplicateurs de Lagrange :

Cette dernière équation est vérifiée quelque soit l’état X. On retrouve l’équation de Riccati dont la matrice P fournit la commande par retour d’état dans le cas d’un problème de régulation . Il faut de plus intégrer l’équation qui correspond au régime forcé lié au problème de poursuite.

Ces équations sont à intégrer avec les conditions terminales :

.

Ces deux équations s’intègrent à rebours puis sont implantées sur le correcteur ; ce qui pose des difficultés lors de la réalisation.

 Exemple

On reprend l’exemple précédent. On désire maintenir l’état vitesse autour d’une consigne vitesse vc constante tout en minimisant la consommation d’énergie. C’est un problème analogue au précédent excepté dans le choix du vecteur d’état qui doit être maintenu autour de v_c ( problème de poursuite ) et non plus autour de 0 ( problème de régulation ). Pour rendre évidente la notion de préfiltre, on traite ce problème sur horizon infini.

� Equation du régulateur : K = -q

‚ Equation du préfiltre :

On suppose le régime permanent atteint ( Rappelons qu’il faut intégrer à rebours et que l’origine des temps est l’instant final qu’on fait tendre ici vers + ¥ )

Þ

comme

Le gain du préfiltre vaut -q.

Ce résultat était prévisible. On a établi dans le cours d’asservissements linéaires que le gain statique d’un système en boucle fermée était égal à soit dans l’exemple étudié. Pour un problème de poursuite, on cherche à obtenir un gain en boucle fermée unitaire ; il convient donc de multiplier la consigne par –q.