Rappels sur le calcul des variations

Le chapitre précédent a mis en évidence la notion de critère ou fonction de coût, expression analytique qui vise à conférer à un système certaines performances. L’objectif de ce cours est l’élaboration d’une loi de commande optimale u* qui minimise un critère J. Le système est décrit par une équation d’état.

L’expression du critère :

Equation d’état du système :

Il s’agit d’un problème de minimisation, rappelons quelques résultats utiles.

Minimum sans contrainte

Une fonction f(x) admet un minimum au point x* si elle vérifie :

Le critère J à minimiser est une fonction de plusieurs variables. Les conditions de minimum peuvent être établies à partir de son développement de Taylor :

On utilise avantageusement l’écriture matricielle, comme

en posant Le gradient de J par rapport à x,

et le hessien

il vient :

On peut dès lors établir les conditions de minimum :

Remarque : Une matrice est définie positive lorsque elle vérifie : x^T.A.x > 0 " x

Minimum sous contraintes

Le problème à résoudre est différent. Dans l’expression du critère , l’évolution du vecteur d’état x n’est pas libre, elle est assujettie à l’équation d’état . On dit encore qu’elle est contrainte. Il s’agit là d’un problème de minimisation sous contraintes qu’illustre l’exemple suivant.

 Exemple 

Soit à minimiser la fonction , sous la contrainte . Il s’agit simplement ici de mininimiser la distance OP.

La méthode qui suit permet de se ramener à un problème de minimisation classique i.e. sans contrainte. Considérons une fonction J(x) contrainte par g(x) = 0 " x , dans le cas où il y a p contraintes, on la note g^(p)(x) = 0.

On a pour tout x et en particulier en x*:

Comme au point x* les p gradients g_x^(p)(x*) ne sont pas nécessairement nuls, ils sont orthogonaux à dx.

Par ailleurs la condition de minimum J_x(x*) = 0 valable sans contrainte n’est plus vérifiée. Il faut considérer la condition de minimum sous sa forme complète i.e.

J_x(x*) et les p vecteurs gradients g_x^(p)(x*) sont orthogonaux aux dx. On peut écrire J_x(x*) comme une combinaison linéaire des g_x^(p)(x*).

Avec m = [ m₁, …m_p ]^T  où les m_i sont les multiplicateurs de Lagrange.

On se ramène à un problème de minimisation sous contraintes à un problème de minimisation sans contrainte en introduisant le hamiltonien H(x, m ,t )

Rechercher le minimum de J(x) sous les p contraintes g^(p)(x) = 0 est équivalent à rechercher le minimum de H sans contrainte. Avec les variations de x et de m indépendantes ; en effet :

Il faut en toute rigueur vérifier H_xx > 0.

Exemple :

On résout l’exemple précédent. Ecrivons le hamiltonien :

On Remarque qu’en x* on a colinéaire à ( problème à une seule contrainte ) et que dx est porté par le plan d’équation g(x) = 0.

Application au problème de la commande optimale

On cherche à établir la commande optimale u* qui minimise le critère :

soit J* la valeur minimale du critère.

L’évolution des n états , est soumise aux n contraintes qu’on met sous la forme .

Le critère peut encore s’écrire :

Pour se ramener à un problème de minimisation sans contrainte on introduit le hamiltonien :

On intègre par partie le second terme sous l’intégrale,

Pour un système partant de l’état initial x(t0) à l’instant t0 et devant atteindre l’état final x(t1) à l’instant t1, le minimum du critère, J* est obtenu pour la commande optimale u*. Comme on cherche à minimiser J, on va créer une petite variation dJ autour de J* et on cherchera les conditions pour lesquelles dJ s’annule. Pratiquement cela revient à faire varier ce que l’on peut et à en évaluer les conséquences sur la trajectoire d’état et la fonction de coût.

- L’instant initial et l’instant final : t0 + dt0 , t1 + dt1 ( le système ne " démarre " pas tout à fait à l’instant souhaité et ne parvient pas à l’état final dans les temps imposés, ces variations peuvent avoir pour origine des retards non pris en compte, des perturbations etc. )

- Les conditions initiales et finales : x0 + dx0 , x1 + dx1 ( sous l’effet de perturbations aux instants t0 et t1, l’état initial et l’état final sont différents des états désirés )

- La commande u* + du ( la commande réelle appliquée au système diffère de la commande calculée, cette variation peut avoir pour origine le bruit de quantifiquation dans le cas d’une commande numérique, des dérives sur les alimentations d’un amplificateur de puissance générant la commande u, etc. )

Par hypothèses, ces variations sont supposées être toutes indépendantes.

Remarque : Dans la plupart des problèmes posés, l’instant et l’état initial sont imposés dx₀ = dt₀ = 0.

Pour déterminer dJ, on a besoin de deux résultats intermédiaires :

�

‚

On calcule dJ puis on sépare les effets propres à chacune des variations supposées indépendantes.

Dans un premier temps on suppose les instants et les états terminaux parfaitement imposés, les variations associées dt0, dt1, dx0, dx1 sont nulles. La condition de minimum porte le long de la trajectoire et J est minimum si :

$ On exploite ici le lemme de Lagrange ; Si y(t) est une fonction continue sur [t0, t1] et si : pour toute fonction a(t) continue alors y(t) est nulle sur [t0,t1]

Principe du minimum de Pontryaguin

Les équations de Hamilton déterminées au paragraphe précédent fournissent la loi de commande qui minimise le critère le long de la trajectoire d’état.

Dans la pratique, des contraintes sur la commande rendent parfois impossible l’élaboration de u*.

• Saturation des commandes ( ex : manette des gaz d’un avion 0 £ u £ u_max )
• Formes particulières du hamiltonien ( cas d’une forme linéaire en u )

D’une manière plus générale et pour prendre en compte ces cas particuliers, Pontryaguin a énoncé le principe suivant :

Enoncé du principe du minimum

La commande ( u^* ) qui minimise le critère

sous la contrainte

est telle que la fonction de Hamilton H = L + m^T.f soit minimale :

Et

Remarque : Un cas fréquent d’application du principe concerne les hamiltonien linéaires par rapport à la commande u alors que celle-ci est contrainte d1£ u£ d2. L’hamiltonien s’écrit : H = a(t).u + b(t).

On discute des variations de a(t) sur [t0, t1] afin d’établir son signe,

Conditions de transversalités

Les équations de Hamilton précitées constituent une condition nécessaire de minimum pour le critère J. Elles permettent d’élaborer la loi de commande optimale u*. Il reste qu’il faut tenir compte des variations sur les états terminaux dt0 , dt1 , dx0 , dx1 pour intégrer les équations d’états. Le tableau page 8 envisage les cas les plus fréquents.

Remarque : Lorsque l’instant final t1 est libre et que la fonction F ( coût terminal ) ne dépend pas du temps, le hamiltonien est nul à l’instant t1. Il est nul sur toute la trajectoire si le critère est invariant dans le temps.

Cas rencontrés	Données
Instants initial et final imposés Etats initial et final imposés	dt0 = dt1 = dx0 = dx1 = 0 � Hu = 0 è u*(m) ‚ Hx = -m’ è m è u* ƒ u* dans + n conditions initiales + n conditions finales
Instants initial et final imposés Etat initial imposé, final libre	dt0 = dt1 = dx0 = 0 , dx1 ¹ 0 � Hu = 0 è u*(m) ‚ Hx = -m’ è m è u* ƒ = m(t1) è x(t1) „ + n conditions initiales + n conditions extraites de ƒ
Instants initial imposé, final libre Etats initial et finaux imposés	dt0 = dx0 = dx1 = 0 , dt1 ¹ 0 � Hu = 0 è u*(m) ‚ Hx = -m’ è m è u* ƒ è t1 „ u* dans + n conditions initiales + n conditions finales
Instants initial et final imposés Etats initiaux et finaux libres	dt0, dx0 = 0 ; dx1, dt1 ¹ 0 Ø Combiner les conditions de transversalité précédentes.

Calcul de l’hamiltonien sur la trajectoire optimale

Le calcul de la dérivée totale de l’hamiltonien par rapport au temps :

est égale à la dérivée partielle car H_u = 0, H_m = et Þ le long de la trajectoire optimale.

Comme H = L + m^T.f, si le critère et le système ne dépendent pas explicitement du temps Þ et l’hamiltonien est constant sur toute la trajectoire. Si de plus, le temps final est libre, H[x*(t1), u*(t1), m(t1) ] = 0, on en déduit que l’hamiltonien est nul sur toute la trajectoire. Ce résultat fournit une équation supplémentaire exploitable lors de la recherche d’une loi de commande optimale.

 Exemple

On cherche à réaliser une loi de commande qui minimise la distance de freinage d d’un avion lors de l’atterrissage tout en minimisant le coût énergétique. On n’utilise que la reverse moteur, les effets aérodynamiques sont négligés.

Le critère à minimiser :

L’appareil de masse M égale à 10 tonnes se présente au sol à l’instant t0 = 0 en x(t0) = 0 avec une vitesse v₀ égale à 50 m/s, la manette des gaz permet de créer une force de freinage u.

Le critère représente un compromis entre la distance de freinage x(t1) et l’énergie dépensée.

� Conditions terminales

• états initiaux imposés : x(t0) = 0, v₀ = 50 m/s
• instant initial imposé t0 = 0
• état position finale x(t1) = d libre, état vitesse finale imposé v(t1) =0
• instant final t1 libre

‚ Equations d’état avec : x(t) = x₁(t) et v(t) = x₂(t)

Þ 2 contraintes Þ m = [ m1(t) , m2(t) ]^T

ƒ Hamiltonien

„ Equations de Hamilton

La commande u n’est pas contrainte, (1)

… Conditions de transversalité

- état position finale libre : F_x[ x₁(t1) , t1 ] = m₁(t1) Þ m.x₁(t1) = m₁(t1)

comme d’après (2), m₁(t) = cte Þ m₁₀ = m.x₁(t1) = m.d

• instant final libre :

d’après (1) Þ (4)

(4) dans (3) d’où :

† Intégration des équations d’état

comme

On exploite les conditions terminales à t = 0:

x₂(0) = v₀ Þ