INTRODUCTIONLes avantages de la contre-réaction ont été mis en évidence dans le cours d'asservissement linéaire. Elle modifie la dynamique propre du système en vue d'augmenter la stabilité, la précision et la rapidité. En outre elle minimise l'influence des perturbations.
Cette technique peut être étendue au cas des processus décrits par une représentation d'état. La méthode consiste à élaborer un signal de commande u à partir des états x1, x2...xn. comme le montre la figure 1.
Figure 1
Remarques :
On traitera ici uniquement le cas monovariable.
La méthode suppose tous les états mesurés.
Le fait que la commande u agisse sur tous les états suppose que le système soit commandable.
STRATEGIES DE PLACEMENT DE MODES
Les performances dynamiques d'un système sont fonction de la position de ses modes. Ces modes sont les valeurs propres de la matrice d'évolution des états ( cf chapitre I §5.1 ). Sous réserve que le système soit commandable et ses états tous mesurables, une stratégie consiste à modifier la position originelle des modes du processus afin de conférer à celui-ci les performances souhaitées.
Stabilisation d'un mode instable
Second ordre dominant avec temps de réponse minimal x = 0,7
SYNTHESE DE LA COMMANDE PAR RETOUR D'ETAT
Figure 2
Du schéma fonctionnel de la figure 2 on déduit les équations d'état du processus corrigé,
La matrice d'évolution des états du processus corrigé devient :
A - B.K
Matrice dont il faut judicieusement choisir les valeurs propres afin de conférer au système de bonnes performances. Les matrices A et B sont propres au système, on agira donc sur les coefficients ki avec 
de la matrice K pour placer les modes.
Synthèse de la commande dans la base compagne horizontale
On résout avantageusement le problème de la correction dans la base compagne horizontale.
X = P.Z
où P désigne la matrice de passage qui permet de passer sous forme compagne horizontale.
Avant correction, le polynôme caractéristique ( qui dans la cas d'un système commandable et observable est aussi le dénominateur de la fonction de transfert ) de la matrice d'évolution des états s'écrit:
Qui admet dans la base compagne horizontale associée la matrice d'évolution des états:
Le polynôme caractéristique est le même quelle que soit la base de représentation choisie. On sait également que c'est le polynôme caractéristique qui détermine les performances dynamiques du système. On s'impose donc un polynôme caractéristique pour le système corrigé qui garantisse les performances souhaitées :
Polynôme à partir duquel on écrit la matrice d'évolution des états du système corrigé désiré sous forme
compagne horizontale :
Pour parvenir à ce résultat, on applique le résultat établi au §3.2 dans la base compagne horizontale.
Après identification,
Il faut enfin se ramener à la base originelle, d'après les résultats établis au § 4.1 du chapitre I on peut écrire :
Exemple d'application de la commande par retour d'état
Soit le système décrit par la représentation d'état :
dont on commence par établir la commandabilité en utilisant le critère de Kalman :
rang [B, A.B] = rang
=2
Le système est gouvernable.
Le polynôme caractéristique a été calculé au chapitre I, § 5.2.1.
PA(l) = l˛ + 5.l + 4
Les modes de ce système sont l1 = -1 et l2 = -4
On écrit la représentation d'état sous forme compagne gouvernable : 
La stratégie de placement de modes choisie consiste à donner au système un comportement de type second ordre avec temps de réponse minimal, on choisit pour les modes corrigés :
l1c = -5 - 5.i
l2c = -5 + 5.i
Le polynôme caractéristique corrigé PAcorrigé(l) s'écrit :
PAcorrigé(l) = ( l ˛ + 10.l + 50 )
et la matrice d'évolution des états sous forme compagne horizontale:
En posant Kh = [kh1, kh2 ] la matrice de contre-réaction dans la base compagne horizontale et en appliquant les résultats établis au § 5.2.1.
La matrice de passage calculée au § 5.2 du chapitre 1 permet d'exprimer K dans la base originelle,
On peut donner une représentation du système corrigé :
Figure 3
Réalisation de la commande par retour d’état
L’élaboration de la commande par retour d’état est en fait une combinaison linéaire des états soustraite du signal d’entrée.
si les mesures des états sont des tensions, un sommateur à amplificateur opérationnel suffit à l’élaboration de la commande.
Figure 4