2-6 Correcteur proportionnel intégral dérivé (PID)

a - Définition et propriétés

Le correcteur proportionnel intégral dérivé possède une transmittance de la forme:

Il correspond à la mise en cascade d'un correcteur proportionnel, d'un correcteur intégral et d'un correcteur dérivé et permet ainsi d'améliorer:

- la rapidité du système bouclé (action proportionnelle),

- la précision en régime permanent (action intégrale),

- la stabilité (action dérivée).

Le correcteur PID agit sur le régime permanent et le régime transitoire du système.

Ce correcteur n'est pas réalisable physiquement, c'est pourquoi on parle aussi de correcteur PID idéal.

Dans la pratique, on utilise un correcteur dont la transmittance s'approche de celle du correcteur idéal, du type:

avec t très petit.

La fonction harmonique vaut:

ce qui donne:

En annulant la dérivée de |C(jw )|, on montre que le module atteint un minimum pour:

.

Le point du lieu de transfert correspondant à cette pulsation est un point neutre pour K=1: il reste fixe et sert de pivot au basculement du lieu.

Les diagrammes de Bode du correcteur PID idéal sont les suivants:

b - Utilisation

On commence par choisir . Pour cela, on procède de la manière suivante:

si l'on veut, par exemple, un bon amortissement (de l'ordre de 0,7), il faut que le lieu de transfert de la boucle ouverte corrigée (BOC) vienne tangenter le contour à 0dB. En d'autres termes, dans Black, il doit être proche de la verticale (voir schéma ci-après).

Pratiquement, on choisit pour la pulsation du point situé à une vingtaine de degrés à gauche de la verticale .

Pour déterminer et , on prend généralement , ce qui donne:

Il reste à ajuster le gain pour obtenir la marge de phase désirée.

c - Exemple

Considérons le système suivant:

Sans correcteur (C(p)=1), le système est stable, mais sa marge de phase est faible (de l'ordre de 25°) et sa précision en régime permanent peut être améliorée, comme on peut le constater sur le lieu de Black tracé ci-après:

On décide d'implanter un correcteur PID en cascade.

On commence donc par choisir . Le paramétrage du lieu nous permet de déterminer la pulsation correspondant au point du lieu situé sur la verticale . On trouve .

Sachant que et en prenant , on détermine , puis .

Notre correcteur est entièrement déterminé. Le tracé du lieu de transfert du système ainsi corrigé nous permet de vérifier que la précision a effectivement été améliorée, et que la marge de phase est nettement meilleure (de l'ordre de 70°):

ayant été déterminé de manière approximative, il resterait à ajuster le gain pour obtenir la marge de phase voulue.

d - Réalisation

La réalisation pratique d'un tel correcteur peut se faire de la façon suivante:

L'action dérivée est efficace jusqu'aux limites technologiques des amplificateurs opérationnels.