a pour transformée de Laplace 
.2-3 Réponse aux entrées-type
a - Entrée de type échelon
Une entrée de type échelon a pour transformée de Laplace .
La réponse du système à une telle entrée vaut donc:
Le discriminant du terme du second degré vaut 
.
Si x = 0,
alors 
soit
le système est oscillant. Il n'y a pas d'amortissement.
Si x > 1,
alors d > 0 et l'on a deux racines
réelles négatives: 
et
La réponse indicielle du système vaut donc:
.
On dit que le système comporte deux modes apériodiques.
Si x = 1,
alors d = 0 et l'on a une racine
double 
La réponse indicielle du système vaut donc:
.
Le système comporte un seul mode apériodique. On dit alors que l'on est en régime apériodique critique.
Si 0 < x < 1,
alors d < 0 et l'on a deux racines
complexes conjuguées: 
La réponse indicielle du système vaut donc: 
.
avec 
On dit que le système comporte un mode pseudo-périodique (ou oscillatoire amorti).
Le signal de sortie s(t) est donc une sinusoïde amortie. Elle
est d'autant moins amortie que est petit. Les oscillations sont
visibles pour < 0,7 .Le dépassement maximal correspond au
premier extremum (
).
Ce premier dépassement vaut: 
. Il est obtenu à 
La courbe ci-dessous donne l'évolution du dépassement D1 (en pourcentage) en fonction de l'amortissement réduit :
Le tableau suivant donne la valeur du dépassement maximal pour quelques valeurs de :
0,4 |
0,5 |
0,6 |
> 0,7 |
|
| D1% | 25% |
15% |
9% |
< 5% |
Le dépassement correspondant au nième
extremum vaut: 
Il est obtenu à: 
On pose 
.
C'est ce que l'on appelle la pulsation propre du système.
Elle est associée à la pseudo-période du système 
.
Enfin, le temps de réponse à 5% est donné par la formule:
Dans la pratique, connaissant 
, la détermination du temps de réponse
se fait par lecture sur la courbe ci-dessous, liant 
à .
Enfin, si l'on ne dispose pas de cette courbe, on pourra évaluer le temps de réponse du système en utilisant les règles suivantes:
La figure suivante donne différentes réponses indicielles d'un système du second ordre suivant la valeur de son amortissement réduit:
Remarque: pour K = 1 (et 
), il y a recopie exacte dans tous les cas (
).
Enfin, sur la figure suivante, sont visualisés le temps de réponse à 5%, la pseudo-période T et le dépassement D%. Apparaissent aussi le temps de pic tp et le temps de montée tm :
b - Entrée harmonique
Une entrée harmonique 
a pour transformée de Laplace:
La réponse du système à une telle entrée vaut donc:
La réponse à une entrée harmonique d'un système du 2ème ordre est, en régime permanent, de type harmonique. En effet, on a:
avec 
et 
En régime permanent (t grand), on a donc 
On pose 
Remarque: Dans l'analyse fréquentielle, on utilise souvent la
pulsation réduite 
